多面体的欧拉定理结论_多面体欧拉定理推导

多面体的欧拉定理结论_多面体欧拉定理推导

       大家好，今天我来和大家聊一聊关于多面体的欧拉定理结论的问题。在接下来的内容中，我会将我所了解的信息进行归纳整理，并与大家分享，让我们一起来看看吧。

1.棱柱的顶点数,面数和棱数之间有什么规律

2.多面体欧拉定理的定理二证

3.数学上三角形的欧拉定理如何证明？

4.欧拉定理的证明应用

5.用V表示定点数,E表示棱,F表示面数,V,E,F之间个关系是什么?

棱柱的顶点数,面数和棱数之间有什么规律

       棱柱的顶点数,面数和棱数之间的关系：

       E=V+F-2（F代表面，V代表顶点，E代表棱数），这是多面体的欧拉公式。

       1、面数和顶点数间的关系：F=V/2+2

       2、棱数和顶点数间的关系：E=V+V/2=3V/2

       3、棱数和面数间的关系：E=3F-6

扩展资料

       在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理。

       多面体欧拉定理是指对于简单多面体，简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系有著名的欧拉公式：V-E+F=2。

       

参考资料：

百度百科-多面体欧拉定理

多面体欧拉定理的定理二证

       欧拉公式

       简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

        V+F-E=2

       这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

       认识欧拉

        欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。

        欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。

        欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，∑，f (x)等等，至今沿用。

        欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？ 欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式......

       欧拉定理的意义

       （1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律

       （2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。

       （3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

        定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

       （4）提出多面体分类方法：

        在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。

        除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

       （5）利用欧拉定理可解决一些实际问题

        如：为什么正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等

       欧拉定理的证明

        方法1：（利用几何画板）

        逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E

        先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

        去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1

        （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

       （2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。

       以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。

       对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

        方法2：计算多面体各面内角和

       设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α

       一方面，在原图中利用各面求内角总和。

       设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：

       ∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]

       = (n1+n2+…+nF -2F) ·1800

       =(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）

       另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

       设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。

       所以，多面体各面的内角总和：

       ∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800

        =（V-2）·3600. （2）

       由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600

       所以 V+F-E=2.

       欧拉定理的运用方法

       （1）分式：

       a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

       当r=0,1时式子的值为0

       当r=2时值为1

       当r=3时值为a+b+c

       （2）复数

       由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

       sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

       cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

       （3）三角形

       设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

       d＾2=R＾2-2Rr

       （4）多面体

       设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则

       v-e+f=2-2p

       p为欧拉示性数，例如

       p=0 的多面体叫第零类多面体

       p=1 的多面体叫第一类多面体

        (5) 多边形

       设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：

       V+Ar-B=1

       (如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)

        (6). 欧拉定理

       在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。

       其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。

       使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数

       问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？

       答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数

       设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么

       面数F＝x＋y

       棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用）

       顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）

       由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12

       所以共有12块黑皮子

       所以，黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的

       对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起，所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的

       那么白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20

       所以共有20块白皮子

数学上三角形的欧拉定理如何证明？

       如图（1）多面体，设顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，将其余的面拉平，使它变为平面图形，如图（2）

       我们在两个图中求所有面的内角总和Σα

       一方面，在图（1）中利用面求内角总和。

       设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，

       各面的内角总和为：

       Σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]

       = (n1+n2+…+nF -2F) ·1800

       =(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）

       另一方面，在图（2）的拉开图中，利用顶点来求内角总和。

       设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体所有各面的内角和为：

       Σα = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600. （2）

       由（1）（2）得

       (E-F) ·3600 =（V-2）·3600

       所以 V+F-E=2.

欧拉定理的证明应用

       欧拉公式

       简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

       V+F-E=2

       这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

       证明方法：

       方法1：（利用几何画板）

       逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E

       先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

       去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1

       （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

       （2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。

       以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E

       =2。

       对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

       方法2：计算多面体各面内角和

       设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α

       一方面，在原图中利用各面求内角总和。

       设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：

       ∑α

       =

       [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800

       +…+(nF-2)

       ·1800]

       =

       (n1+n2+…+nF

       -2F)

       ·1800

       =(2E-2F)

       ·1800

       =

       (E-F)

       ·3600

       （1）

       另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

       设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。

       所以，多面体各面的内角总和：

       ∑α

       =

       (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800

       =（V-2）·3600.

       （2）

       由(1)(2)得：

       (E-F)

       ·3600

       =（V-2）·3600

       所以

       V+F-E=2.

用V表示定点数,E表示棱,F表示面数,V,E,F之间个关系是什么?

        逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E

       先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

       去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1

       1．去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

       2．从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一个点。

       以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。

       对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

       计算多面体各面内角和

       设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和Σα

       一方面，在原图中利用各面求内角总和。

       设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：

       Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]

       = (n1+n2+…+nF -2F) ·180度

       =(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）

       另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

       设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。

       所以，多面体各面的内角总和：

       Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度

       =（V-2）·360度（2）

       由(1)(2)得：(E-F) ·360度=（V-2）·360度

       所以 V+F-E=2.

       用拓扑学方法证明

       尝试一下用拓扑学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

       欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末

       F-E+V=2。

       证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：

       1．把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

       2．去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。

       3．对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

       4．如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。

       5．如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。

       6．这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

       7．因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。

       8．如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。

       即F′-E′+V′=1

       成立，于是欧拉公式：F-E+V=2 得证。 例：足球表面由五边形和六边形的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边形和六边形？

       答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E+V=2，其中F,E,V分别表示面，棱，顶点的个数

       设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么

       面数F=x+y

       棱数E=(5x+6y)/2（每条棱由两块皮子共用）

       顶点数V=(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）

       由欧拉公式，x+y－(5x+6y)/2+(5x+6y)/3=2，

       解得x=12。所以，共有12块黑皮子

       所以，黑皮子一共有12×5=60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的

       对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。

       所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的

       那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20

       所以共有20块白皮子

       （或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接

       所以，五边形的个数x=3y/5。

       之前求得x=12，所以y=20）

       参考答案：欧拉定理：V-E+F=2 式中V表示多面体的顶点数,E表示棱数,F表示面数.证明：考虑一个简单多面体,将它减去一个面,然后将其余部分展平,则这时有V-E+F=1,而它变成了一个由多边形组成的网；然后连接每个多边形的对角线,知道它们都被分成三角形.在这个过程中,有的三角形的边界有一条,有的有两条.然后去掉边界三角形与其他三角形不共用的那些边界,对于只有一个边界的,它少了一条棱,也少了一个面.所以V-E+F不变,对于有两条边界的,它少了一个面,一个顶点和两条棱,所以也不变.到最后,只剩下一个三角形,它有3个顶点,三条棱和一个面,因此V-E+F=1,所以对于完整的多面体,将有V-E+F=2成立.

       好了，今天关于“多面体的欧拉定理结论”的话题就讲到这里了。希望大家能够通过我的介绍对“多面体的欧拉定理结论”有更全面、深入的认识，并且能够在今后的实践中更好地运用所学知识。